题目内容

对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S₁= $数学公式$ ；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积 $数学公式$ ．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积V_n=________．

$\text{[math]}$
分析：类比正方形求面积，可得正方体求体积，得出所有体积构成以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，从而可得结论．
解答：推广到棱长为1的正方体中，第一步，将它分割成3×3×3个正方体，其中心和八个角的9个小正方体，其体积为
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，第二步，执行同样的操作，其体积为 $\text{[math]}$ ，依此类推，到第n步，所有体积构成以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列，
∴到第n步，所得几何体的体积V_n= $\text{[math]}$
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数列递推式，考查数列通项的求解，解题的关键是得出所有体积构成以 $\text{[math]}$ 为首项， $\text{[math]}$ 为公比的等比数列．

练习册系列答案

相关题目

（2012•福州模拟）对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S₁=

；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积Sn=

n．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积V_n=

(

．

对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S₁=；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积V_n=____________

对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S₁=

；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积

．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积V_n= ．

对一个边长为1的正方形进行如下操作：第一步，将它分割成3×3方格，接着用中心和四个角的5个小正方形，构成如图①所示的几何图形，其面积S₁=

；第二步，将图①的5个小正方形中的每个小正方形都进行与第一步相同的操作，得到图②；依此类推，到第n步，所得图形的面积

．若将以上操作类比推广到棱长为1的正方体中，则到第n步，所得几何体的体积V_n= ．

试题分类