题目内容
【题目】已知椭圆C： 
（a＞b＞0）经过点（2， 
）且离心率等于 
，点A，B分别为椭圆C的左右顶点，点P在椭圆C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）M，N是椭圆C上非顶点的两点，满足OM∥AP，ON∥BP，求证：三角形MON的面积是定值．
【答案】
（1）解：椭圆C： 
（a＞b＞0）经过点（2， 
）且离心率等于 
，
可得 
= ，即： 
， 
，解得a2=8，b2=4，
所求椭圆方程为： 
（2）证明：由题意M，N是椭圆C上非顶点的两点，
且AP∥OM，BP∥ON，设P（2 cosθ，2sinθ）
则直线AP，BP斜率必存在且不为0，
又由已知kAPkBP= 
= 
=- 
．
因为AP∥OM，BP∥ON，所以kOMkON=-
设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程 ，
得（2+m2）y2+2mty+t2﹣8=0…①，
设M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），
则y1+y2=﹣ 
，y1y2= 
，x1x2=
m2y1y2+mt（y1+y2）+t2= 
，
所以kOMkON= 
= 
=﹣ ，得t2=2m2+4，
又S△MON= |t||y1﹣y2|= 
= 
= 
= 
=2 ，
即△MON的面积为定值2
【解析】（1）利用椭圆的离心率以及椭圆结果的点，求出长半轴与短半轴的长，即可得到椭圆方程；（2）求出kAPkBP=﹣ ，设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，利用kOMkON=﹣ ，推出t2=2m2+4，利用三角形的面积公式，化简求解即可推出结论．
【考点精析】掌握椭圆的标准方程是解答本题的根本，需要知道椭圆标准方程焦点在x轴：
，焦点在y轴：
．
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