Question

已知函数f（x）=a^x，（a＞0且a≠1）的反函数是y=g（x）．
（1）求函数y=g（x）的表达式；
（2）对于函数y=g（x），当x∈[2，8]时，最大值与最小值的差是2，求a的值；
（3）在（2）的条件下，当x∈[0，3]时，求函数y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）先令y=f（x）=a^x，用y表示出x，再交换x，y的位置，即可得出反函数
（2）对a进行分类讨论，再根据对数函数的单调性，可得函数log_ax在[2，8]上的单调性，进而可得其最大最小值，相差可得a，从而求出答案．
（3）根据指数函数的单调性，可得函数y=a^x在[0，3]上是增函数，进而可得其最大最小值，相加可得答案．

解答：解：（1）令y=f（x）=a^x，
由有x=log_ay
故函数的反函数的解析式是y=log_ax，（x＞0）
（2）当a＞1时．函数y=log_ax在[2，8]上是增函数，
所以最大值为log_a8，最小值为log_a2，
最大值与最小值的差是2，
∴log_a8-log_a2=2，解得：a=2；
当0＜a＜1时．函数y=log_ax在[2，8]上是减函数，
所以最大值为log_a2，最小值为log_a8，
最大值与最小值的差是2，
∴log_a2-log_a8=2，解得：a=

1

2

；
综上所述，a的值2或

1

2

；
（3）当a=2时，函数y=2^x在[0，3]上是增函数，函数y=f（x）的值域为：[1，8]；
当a=

1

2

时，函数y=

1

2

^x在[0，3]上是增函数，函数y=f（x）的值域为：[

1

8

，1]；

点评：本题考查反函数、对数函数的值域与最值．在处理指数函数和对数函数问题时，若对数未知，一般情况下要对底数进行分类讨论，分为0＜a＜1，a＞1两种情况，然后在每种情况对问题进行解答，然后再将结论综合，得到最终的结果