Question

已知f（x）的定义域为{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时f（x）=-x²+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2．
（1）求b，c的值；
（2）求f（x）在x＜0时的表达式．

Answer 1

分析：（1）根据f（1）=f（3）得函数图象关于直线x=2对称，结合抛物线对称轴的公式列式得到b的值，再由f（2）=2列式，解出c的值．
（2）当x＜0时，-x是正数，代入题中正数范围内的表达式得到f（-x）的式子，再结合f（x）是奇函数，取相反数即可得到f（x）在x＜0时的表达式．

解答：解：（1）∵f（1）=f（3），∴函数图象的对称轴x=

b

2

=2，得b=4
又∵f（2）=-4+4×2+c=2，∴c=-2
（2）由（1）得当x＞0时f（x）=-x²+4x+2，
当x＜0时，f（-x）=-（-x）²+4（-x）+2=-x²-4x+2，
∵f（x）是奇函数，
∴当x＜0时，f（x）=-f（-x）=x²+4x-2．

点评：本题给出二次函数的对应值，求函数表达式，并且在函数为奇函数的情况下求x＜0时的表达式．着重考查了函数奇偶性的性质和函数解析式的求解及常用方法，属于基础题．