Question

已知定义在正实数集上的函数f（x）=

1

2

x²+2ax，g（x）=3a²lnx+b，其中a＞0．设两曲线y=f（x），y=g（x）有公共点，且在该点处的切线相同．
（Ⅰ）用a表示b，并求b的最大值；
（Ⅱ）求证：f（x）≥g（x）  （x＞0）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出两曲线的公共点坐标，分别求出f（x）和g（x）的导函数，把设出点的坐标代入两导函数中得到两关系式，联立两关系式即可解出公共点的横坐标，把求出的横坐标代入得到用a表示出b的式子，设h（t）等于表示出的式子，求出h（t）的导函数，令导函数大于0求出t的范围即为函数的增区间，令导函数小于0求出x的范围即为函数的减区间，根据函数的增减性即可求出h（t）的最大值即为b的最大值；
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x），求出F（x）的导函数，根据导函数的正负得到F（x）的单调区间，由x大于0和函数的增减性得到F（x）的最小值为0，即f（x）-g（x）大于等于0，得证．

解答：解：（Ⅰ）设y=f（x）与y=g（x）（x＞0）在公共点（x₀，y₀）处的切线相同．
∵f'（x）=x+2a，g′(x)=

3a2

x

，由题意f（x₀）=g（x₀），f'（x₀）=g'（x₀）．
即

1 2 x 2 0 +2ax0=3a2lnx0+b x0+2a= 3a2 x0

由x0+2a=

3a2

x0

得：x₀=a，或x₀=-3a（舍去）．
即有b=

1

2

a2+2a2-3a2lna=

5

2

a2-3a2lna．
令h(t)=

5

2

t2-3t2lnt(t＞0)，则h'（t）=2t（1-3lnt）．
于是当t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜e

1

3

时，h'（t）＞0；当t（1-3lnt）＜0，即t＞e

1

3

时，h'（t）＜0．
故h（t）在(0，e

1

3

)为增函数，在(e

1

3

，+∞)为减函数，
于是h（t）在（0，+∞）的最大值为h(e

1

3

)=

3

2

e

2

3

．
（Ⅱ）设F(x)=f(x)-g(x)=

1

2

x2+2ax-3a2lnx-b(x＞0)，
则F'（x）=x+2a-

3a2

x

=

(x-a)(x+3a)

x

(x＞0)．
故F（x）在（0，a）为减函数，在（a，+∞）为增函数，
于是函数F（x）在（0，+∞）上的最小值是F（a）=F（x₀）=f（x₀）-g（x₀）=0．
故当x＞0时，有f（x）-g（x）≥0，即当x＞0时，f（x）≥g（x）．

点评：本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力．