题目内容
在平面直角坐标系
中，如图，已知椭圆E：
的左、右顶点分别为
、
，上、下顶点分别为
、
．设直线
的倾斜角的正弦值为
，圆
与以线段
为直径的圆关于直线对称．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（3）若圆的面积为
，求圆的方程．
【解】（1
）设椭圆E的焦距为2c（c>0），
因为直线的倾斜角的正弦值为，所以
，
于是
，即
，所以椭圆E的离心率
…………4分
（2）由
可设
，
，则
，
于是的方程为：
，
故的中点
到的距离
， …………………………6分
又以为直径的圆的半径
，即有
，
所以直线与圆相切． …………………………8分
（3）由圆的面积为知圆半径为1，从而
， …………………………10分
设的中点
关于直线：
的对称点为
，
则
…………………………12分
解得
．
所以，圆的方程为
． …………………………14分
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