题目内容

19.设f(x)=2sinx•cos(x-π3)-sin(x+3π2)•sinx-3cos2x+m在[0,π2]上的最大值为3.求f(x)的单调递增区间.

分析 运用诱导公式和两角差的余弦公式和二倍角公式,结合正弦函数的图象和性质即可求得m的值,由正弦函数的增区间,解不等式即可得到所求增区间.

解答 解:f(x)=2sinx•cos(x-π3)-sin(x+3π2)•sinx-3cos2x+m
=2sinx(12cosx+32sinx)+cosxsinx-3cos2x+m
=2sinxcosx-3(cos2x-sin2x)+m
=sin2x-3cos2x+m=2sin(2x-π3)+m,
由于x∈[0,π2],则2x-π3∈[-π32π3],
sin(2x-π3)∈[-32,1],
当sin(2x-π3)=1即x=5π12时,f(x)取得最大值,且为2+m,
由题意可得2+m=3,解得m=1,
即有f(x)=2sin(2x-π3)+1,
令2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2,k∈Z,
解得kπ-π12≤x≤kπ+5π12,k∈Z,
则f(x)的单调递增区间为[kπ-π12,kπ+5π12],k∈Z.

点评 本题考查三角函数的化简和求值,主要考查二倍角公式和两角差的正弦公式,以及正弦函数的图象和性质,属于中档题.

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