题目内容
19.设f(x)=2sinx•cos(x-π3π3)-sin(x+3π23π2)•sinx-√3√3cos2x+m在[0,π2π2]上的最大值为3.求f(x)的单调递增区间.分析 运用诱导公式和两角差的余弦公式和二倍角公式,结合正弦函数的图象和性质即可求得m的值,由正弦函数的增区间,解不等式即可得到所求增区间.
解答 解:f(x)=2sinx•cos(x-π3π3)-sin(x+3π23π2)•sinx-√3√3cos2x+m
=2sinx(1212cosx+√32√32sinx)+cosxsinx-√3√3cos2x+m
=2sinxcosx-√3√3(cos2x-sin2x)+m
=sin2x-√3√3cos2x+m=2sin(2x-π3π3)+m,
由于x∈[0,π2π2],则2x-π3π3∈[-π3π3,2π32π3],
sin(2x-π3π3)∈[-√32√32,1],
当sin(2x-π3π3)=1即x=5π125π12时,f(x)取得最大值,且为2+m,
由题意可得2+m=3,解得m=1,
即有f(x)=2sin(2x-π3π3)+1,
令2kπ-π2π2≤2x-π3π3≤2kπ+π2π2,k∈Z,
解得kπ-π12π12≤x≤kπ+5π125π12,k∈Z,
则f(x)的单调递增区间为[kπ-π12π12,kπ+5π125π12],k∈Z.
点评 本题考查三角函数的化简和求值,主要考查二倍角公式和两角差的正弦公式,以及正弦函数的图象和性质,属于中档题.
A. | c<a<b | B. | a<c<b | C. | a<b<c | D. | b<c<a |