Question

设f（x）=xlnx，g（x）=ax³（x∈R）．
（1）求f（x）的极值；
（2）设F（x）=f（x）-g（x），讨论函数F（x）的零点个数．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，利用导数，确定函数的单调性，从而可求函数的极值；
（2）由于F（x）=x（lnx-ax²），故函数F（x）的零点个数与g（x）=lnx-ax²的零点个数相同，
①a≤0时，令g（x）=0，进行变形lnx=ax²，利用数形结合的方法，即可讨论得到函数F（x）=f（x）-g（x）的零点的个数；
②a＞0时，求出函数的导函数，判断函数g（x）的极大值，然后推出函数的零点的个数．

解答：解：（1）函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=lnx+1
令f′（x）≥0，得lnx≥-1=lne^-1，x≥lne-1=

1

e

；
令f′（x）≤0，得x∈（0，

1

e

]．
∴f（x）的单调递增区间是[

1

e

，+∞），单调递减区间是（0，

1

e

]．
∴函数的极小值为f（

1

e

）=-

1

e

，f（x）无极大值；
（2）由于f（x）=xlnx，g（x）=ax³，则F（x）=xlnx-ax³=x（lnx-ax²），
故函数F（x）的零点个数与g（x）=lnx-ax²的零点个数相同，
①当a≤0时，令g（x）=lnx-ax²=0，则lnx=ax²，
如图示，曲线y=ax²与y=lnx的图象有且只有一个交点，即一个零点；
②当a＞0时，函数g（x）=lnx-ax²的定义域为（0，+∞），
g′（x）=

1

x

-2ax=

1-2ax2

x

，
当x∈（0，

1 2a

）时，g′（x）＞0，函数是增函数；
当x∈（

1 2a

，+∞）时，g′（x）＜0，函数是减函数．
由于g（

1 2a

）=

1

2

ln

1

2a

-

1

4a

=0，解得a=t₀≈

2

11

所以当a＞t₀时，g（

1 2a

）＜0，此时函数f（x）零点的个数为0；
当a=t₀时，此时g（

1 2a

）=0，此时函数f（x）零点的个数为1；
当，g（

1 2a

）＞0，此时函数f（x）零点的个数为2．
综上可知，当a≤0或a=t₀时，f（x）有且仅有一个零点；
当0＜a＜t₀时，f（x）有两个零点；
当a＞t₀时，f（x）无零点．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的性质，考查学生的运算能力，综合性较强，中等难度．