Question

已知直线l：y=kx+1，圆C：（x-1）²+（y+1）²=12．
（1）试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）求直线l被圆C截得的最短弦长．

Answer 1

分析：（1）联立直线l与圆C方程，消去y得到关于x的一元二次方程，根据根的判别式恒大于0，得到不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）设直线与圆相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），表示出直线l被圆C截得的弦长，设t=

4k+3

1+k2

，讨论出t的最大值，即可确定出弦长的最小值．

解答：解：（1）由

y=kx+1 (x-1)2+(y+1)2=12

，消去y得到（k²+1）x²-（2-4k）x-7=0，
∵△=（2-4k）²+28k²+28＞0，
∴不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；
（2）设直线与圆相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则直线l被圆C截得的弦长|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=2

8-4k+11k2 1+k2

=2

11- 4k+3 1+k2

，
令t=

4k+3

1+k2

，则有tk²-4k+（t-3）=0，
当t=0时，k=-

3

4

；
当t≠0时，由k∈R，得到△=16-4t（t-3）≥0，
解得：-1≤t≤4，且t≠0，
则t=

4k+3

1+k2

的最大值为4，此时|AB|最小值为2

7

，
则直线l被圆C截得的最短弦长为2

7

．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：直线与圆的交点，两点间的距离公式，根的判别式，以及一元二次方程的性质，是一道综合性较强的试题．