题目内容
已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD,且PD=2EC.
(1)求证:BE∥平面PDA;
(2)若N为线段PB的中点,求证:NE⊥平面PDB.
(1)求证:BE∥平面PDA;
(2)若N为线段PB的中点,求证:NE⊥平面PDB.
(1)见解析(2)见解析
(1)∵EC∥PD,PD?平面PDA,EC?平面PDA,
∴EC∥平面PDA,
同理可得BC∥平面PDA.
∵EC?平面EBC,BC?平面BEC且EC∩BC=C,
∴平面BEC∥平面PDA.
又∵BE?平面BEC,∴BE∥平面PDA.
(2)连接AC,交BD于点F,连接NF,
∵F为BD的中点,
∴NF∥PD且NF=PD,
又EC∥PD且EC=PD,
∴NF∥EC且NF=EC.
∴四边形NFCE为平行四边形,
∴NE∥FC,
∵PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥PD,
又DB⊥AC,PD∩BD=D,∴AC⊥平面PDB,
∴NE⊥平面PDB.
∴EC∥平面PDA,
同理可得BC∥平面PDA.
∵EC?平面EBC,BC?平面BEC且EC∩BC=C,
∴平面BEC∥平面PDA.
又∵BE?平面BEC,∴BE∥平面PDA.
(2)连接AC,交BD于点F,连接NF,
∵F为BD的中点,
∴NF∥PD且NF=PD,
又EC∥PD且EC=PD,
∴NF∥EC且NF=EC.
∴四边形NFCE为平行四边形,
∴NE∥FC,
∵PD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,∴AC⊥PD,
又DB⊥AC,PD∩BD=D,∴AC⊥平面PDB,
∴NE⊥平面PDB.
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