Question

10．如图，在正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，
（1）在正方体的12条棱中，与棱AA₁是异面直线的有几条（只要写出结果）
（2）证明：AC∥平面A₁BC₁；
（3）证明：AC⊥平面BDD₁B₁．

Answer 1

分析 （1）画出正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，根据异面直线的概念即可找出与棱AA₁异面的棱．
（2）连接AC，A₁C₁，则A₁C₁∥AC，利用线面平行的判定定理即可证明；
（3）由DD₁⊥面AC，知BD⊥AC，由DD₁⊥BD，能够证明AC⊥平面BDD₁B₁．

解答 解：（1）与棱AA₁异面的棱为：CD，C₁D₁，BC，B₁C₁，共4条．
（2）证明：连接AC，A₁C₁，则A₁C₁∥AC，
∵AC?平面A₁BC₁，A₁C₁?平面A₁BC₁，
∴AC∥平面A₁BC₁；
（3）证明：∵DD₁⊥面AC，AC?平面AC，∴DD₁⊥AC，
∵AC⊥BD，DD₁∩BD=D，BD?平面BDD₁B₁，DD₁?平面BDD₁B₁
∴AC⊥平面BDD₁B₁．

点评 考查异面直线的概念，直线与平面垂直的证明，直线与平面平行的判定，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化，属于中档题．