题目内容

已知函数f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)为偶函数,如果点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y2+1)在g(x)=f(x2+c)的图象上.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)设F(x)=g(x)-λf(x).是否存在实数λ,使F(x)在上为减函数,且在上为增函数?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【答案】分析:利用偶函数的定义列出恒成立的等式,求出b的值;再点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y2+1)在g(x)=f(x2+c)的图象上,求出b,c的值;
(2)由f(x)求g(x),再求F(x)解析式,求F(x1)-F(x2)的表达式,最后要变形为因式相乘的形式;根据单调性得出这个式子的正负,从而得出λ的范围,由两个范围取交集可得λ的值.
解答:解:(1)∵f(x)=x2+bx+c为偶函数,故f(-x)=f(x),即有(-x)2+b(-x)+c=x2+bx+c,解得b=0.
由因为点A(x,y)在函数f(x)的图象上,且点B(x,y2+1)在g(x)=f(x2+c)的图象上,所以c=1,所以f(x)=x2+1
(2)解:g(x)=f(x2+1)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.
F(x)=g(x)-λf(x)=x4+(2-λ)x2+(2-λ),F(x1)-F(x2)=(x1+x2)(x1-x2)[x12+x22+(2-λ)]
由题设当x1<x2时,(x1+x2)(x1-x2)>0,x12+x22+(2-λ)>++2-λ=3-λ,
则3-λ≥0,λ≤3;
<x1<x2<0时,(x1+x2)(x1-x2)>0,x12+x22+(2-λ)>++2-λ=3-λ,
则3-λ≥0,λ≥3故λ=3.
点评:解决函数的奇偶性问题,一般利用奇函数、偶函数的定义找关系;注意具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称;求参数的值,用函数的单调性定义求解,属于定义的逆用,知单调性来判断差的正负.
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