Question

函数f （x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0），x=-1和x=1是函数f（x）图象相邻的两条对称轴，且x∈[-1，1]时f （x）单调递增，则函数y=f（x-1）的（　　）

A．周期为2，图象关于y轴对称

B．周期为2，图象关于原点对称

C．周期为4，图象关于原点对称

D．周期为4，图象关于y轴对称

Answer 1

分析：由正弦函数图象相邻的对称轴的距离等于半个周期，算出f（x）的周期T=2[1-（-1）]=4．再根据y=f（x）的图象一条对称轴是x=-1，得到函数y=f（x-1）的图象关于y轴对称．由此与各选项对照，即可得到本题的答案．

解答：解：∵x=-1和x=1是函数f（x）=Asin（ωx+φ）图象相邻的两条对称轴，
∴函数的周期T=2[1-（-1）]=4，且函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称．
将y=f（x）的图象向右平移一个单位，可得y=f（x-1）的图象．
∵直线x=-1是y=f（x）的图象一条对称轴，（0，0）是y=f（x）的图象一个对称中心，
∴函数y=f（x-1）的图象关于x=0对称，且关于（1，0）对称．
综上所述，可得y=f（x-1）的周期为4，且图象关于y轴对称．
故选：D

点评：本题给出函数f （x）=Asin（ωx+φ）的图象满足的条件，求函数y=f（x-1）的性质．着重考查了三角函数的图象与性质的知识，属于基础题．