Question

（2011•丹东模拟）已知a＞0，设函数f(x)=alnx-2

a

•x+2a，g(x)=

1

2

(x-2

a

)2．
（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值；
（Ⅱ）若e是自然对数的底数，当a=e时，是否存在常数k、b，使得不等式f（x）≤kx+b≤g（x）对于任意的正实数x都成立？若存在，求出k、b的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）先对函数h（x）求导可得，h′(x)=

a

x

-x=

-(x+ a )(x- a )

x

（x＞0），通过导数可判断函数h（x）的单调区间，从而可求函数的极值，最值
（II）由（I）可知，当a=e时，h（x）=f（x）-g（x）的最大值为0，则可得f（x）≤g（x），若使得f（x）≤kx+b≤g（x）对于任意的正实数x都成立，根据导数知识可证f(x)≤-

e

x+

3e

2

，g(x)≥-

e

x+

3e

2

在x∈R时恒成立；即证

解答：解：（I）∵h（x）=f（x）-g（x）=alnx-2

a

x+2a-

1

2

(x-2

a

)2=alnx-

1

2

x2（x＞0）（2分）
对函数h（x）求导可得，h′(x)=

a

x

-x=

-(x+ a )(x- a )

x

∵x＞0
∴当0＜x＜

a

时，h′（x）＞0，h（x）在（0，

a

）上单调递增，
当x＞

a

时，h′（x）＜0，h（x）在（

a

，+∞）上单调递减
∴x=

a

是函数h（x）唯一的极大值即是函数的最大值h（

a

）=

alna-a

2

（4分）
（II）当a=e时，h（x）=f（x）-g（x）的最大值为0
即f（x）≤g（x），当且仅当x=

e

时取等号（6分）
∴函数f（x，g（x）的图象在x=

e

处有且仅有一个公共点（

e

，

e

2

）
∵f′(x)=

e

x

 -2

e

，函数f（x）的图象在x=

e

处的切线斜率k=-

e

g′(x)=x-2

e

，函数g（x）在x=

e

处的切线斜率k=-

e

∴f（x）与g（x）的图象在x=

e

处有公共的切线方程为y=-

e

x+

3e

2

（8分）
设F(x)=f(x)-(-

e

x+

3e

2

)=elnx-

e

x+

e

2

，F′(x)=

e

x

-

e

=-

e (x- e )

x

x	(0， e )	e	( e ，+∞)
F'（x）	+	0	-
F（x）	↑	极大值	↓

∴当x=

e

时，函数F（x）取得最大值0
∴f(x)≤-

e

x+

3e

2

恒成立；…（10分）
∵g(x)-(-

e

x+

3e

2

)=

1

2

x2-

e

x+

e

2

=

1

2

(x-

e

)2≥0，
∴g(x)≥-

e

x+

3e

2

在x∈R时恒成立；
∴当a=e时，k=-

e

，b=

3e

2

．

点评：本题主要考查了导数在函数的单调性、函数的极值、函数的最值判断与求解中的应用，及构造函数利用函数的最值证明不等式，试题有一定的难度．