Question

设三组实验数据（x₁，y₁）．（x₂，y₂）．（x₃，y₃）的回归直线方程是：y=bx+a，使代数式[y₁-（bx₁+a）]²+[y₂-（bx₂+a）]²+[y₃-（bx₃+a）]²的值最小时，a=

.

y

-b

.

x

，b=

x1y1+x2y2+x3y3-3 . x . y

x12+x22+x32-3 . x 2

，（

.

x

、

.

y

分别是这三组数据的横、纵坐标的平均数）
若有七组数据列表如图：

x	2	3	4	5	6	7	8
y	4	6	5	6.2	8	7.1	8.6

（Ⅰ）求上表中前三组数据的回归直线方程；
（Ⅱ）若|y_i-（bx_i+a）|≤0.2，即称（x_i，y_i）为（Ⅰ）中回归直线的拟和“好点”，求后四组数据中拟和“好点”的概率．

Answer 1

分析：（I）根据所给的数据做出x与y的平均数，代入求线性回归方程系数的公式，利用最小二乘法做出结果，把样本中心点代入求出a的值，写出线性回归方程．
（II）本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是4，检验出符合好点的数据，根据所给的表示式检验出符合条件的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．

解答：解：（I）前三组数的平均数：

.

x

=3，

.

y

=5
根据公式：b=

2×4+3×6+4×5-3×3×5

22+32+42-3×32

=

1

2

∴a=5-

1

2

×3=

7

2

∴回归直线方程是：y=

1

2

x+

7

2

（II）由题意知本题是一个古典概型，
试验发生包含的事件是4，检验出符合好点的数据，
|6.2-3.5-0.5×5|=0.2≤0.2
|8-3.5-0.5×6|=1.5＞0.2
|7.1-3.5-0.5×7|=0.1＜0.2
|8.6-3.5-0.5×8|=1.1＞0.2
综上，拟和的“好点”有2组，
∴“好点”的概率P=

2

4

=

1

2

点评：本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法求解线性回归方程的系数，考查古典概型及其概率公式．考查利用挨个检验的方法验证是否符合题意，本题是一个综合题目．