Question

已知函数f(x)＝x³＋bx²＋ax＋d的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为6x-y+7=0.（Ⅰ）求函数y=f(x)的解析式；（Ⅱ）求函数y=f(x)的单调区间.

Answer 1

(Ⅰ) f(x)＝x³-3x²-3x+2   (Ⅱ)  f(x)＝x³-3x²-3x+2在(-∞，1-)内是增函数，在(1-，1+)内是减函数，在(1+，+∞)内是增函数.

解析:

（Ⅰ）由f(x)的图象经过P（0，2），知d＝2，则

f(x)＝x³＋bx²＋cx＋2，f??(x)＝3x²＋2bx+c，

由在M(-1,f(-1))处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0，即f(-1)=1，且f??(-1)=6，

∴，即，解得b=c=-3，

故所求的解析式是f(x)＝x³-3x²-3x+2.

（Ⅱ）f??(x)＝3x²-6x-3，令3x²-6x-3=0，即x²-2x-1=0，

解得x₁=1-，x₂=1+，当x＜1-或x＞1+时，f??(x)＞0；

当1-＜x＜1+时，f??(x)＜0，

故f(x)＝x³-3x²-3x+2在(-∞，1-)内是增函数，在(1-，1+)内是减函数，在(1+，+∞)内是增函数.