Question

对于任意非零实数x，y，已知函数y=f（x）（x≠0），满足f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）；f（-1）；
（2）判断y=f（x）的奇偶性．

Answer 1

分析：（1）根据条件中的恒等式，可对x、y进行赋值，令x=y=1，求出f（1）的值，令x=y=-1，求出f（-1）的值；
（2）根据f（-1）=0，令y=-1，可得到f（-x）与f（x）的关系，根据奇偶性的定义可进行判定．

解答：解：（1）令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0，
令x=y=-1，得f（1）=f（-1）+f（-1），
∴f（-1）=0，
综上，f（1）=0，f（-1）=0，
（2）令y=-1，由f（xy）=f（x）+f（y），得f（-x）=f（x）+f（-1），
又f（-1）=0，
∴f（-x）=f（x），
又∵f（x）不恒为0，
∴f（x）为偶函数．

点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，以及函数奇偶性的判断，对于抽象函数问题，赋值法是常用的方法，属于基础题．