题目内容

已知函数f(x)=ax-lnx+1(a∈R),g(x)=xe1-x
(1)求函数g(x)在区间(0,e]上的值域T;
(2)是否存在实数a,对任意给定的集合T中的元素t,在区间[1,e]上总存在两个不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=t成立,若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由;
(3)函数f(x)图像上是否存在两点A(x1,y1)和B(x2,y2),使得割线AB的斜率恰好等于函数f(x)在AB中点M(x0,y0)处切线斜率?请写出判断过程。

解:(1)∵
∴g(x)在区间(0,1]上单调递增,在区间[1,e)上单调递减,且
∴g(x)的值域T为;
(2)则由(1)可得t∈(0,1],原问题等价于:对任意的在[1,e]上总有两个不同的实根,故f(x)在[1,e]不可能是单调函数,

时,,f(x)在区间[1,e]上单调递增,不合题意
时,,f(x)在区间[1,e]上单调递减,不合题意,
时,f(x)在区间上单调递减;f(x)在区间上单递增,由上可得,此时必有f(x)的最小值小于等于0且f(x)的最大值大于等于1,
由可得,则a∈
综上,满足条件a的不存在;
(3)
,故有
,令,则上式化为
,则由可得F(t)在(0,1)上单调递增,故,即方程无解,所以不存在。

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