Question

设函数f(x)=

x2+bx+c，x≤0 -1，x＞0

，若f（-3）=f（-1），且f（x）_min=-2，则关于x的方程f（x）=x的解的个数是（　　）

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

Answer 1

分析：由f（x）=

x2+bx+c，x≤0 -1，x＞0

，f（-3）=f（-1），f（x）_min=-2，能够求出f（x）=

x2+4x+2，x≤0 -1，x＞0

，由f（x）=x，知：当x≤0时，x²+4x+2=x，当x＜0时，-1=x，由此能求出关于x的方程f（x）=x的解的个数．

解答：解：∵f（x）=

x2+bx+c，x≤0 -1，x＞0

，f（-3）=f（-1），
∴9-3b+c=1-b+c，解得b=4．
∴x≤0时，f（x）=x²+4x+c=（x+2）²+c-4≥c-4，
∵f（x）_min=-2，
∴c-4=-2，解得c=2．
∴f（x）=

x2+4x+2，x≤0 -1，x＞0

，
∴由f（x）=x，得当x≤0时，x²+4x+2=x，当x＜0时，-1=x，
解得x=-1，或x=-2．
∴关于x的方程f（x）=x的解有2个．
故选C．

点评：本题考查方程的根的存在性及其个数判断，解题时要认真审题，注意分段函数、二次函数的性质的合理运用．