Question

已知抛物线x²=2py（p＞0）上的一点（m，1）到焦点的距离为

5

4

．点P（x₀，y₀）是抛物线上任意一点（除去顶点），过点M₁（0，-1）与P的直线和抛物线交于点P₁，过点M₂（0，1）与的P直线和抛物线交于点P₂．分别以点P₁，P₂为切点的抛物线的切线交于点P′．
（I）求抛物线的方程；
（II）求证：点P′在y轴上．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线的定义可得 1+

1

2

p=

5

4

，可求抛物线的方程
（II）设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）由导数的几何意义可求以点P₁为切点的抛物线的切线方程为y-y₁=2x₁（x-x₁），结合y1=x12，可得y=2x1x-x12，P₂为切点的抛物线的切线方程为y=2x2x-x22，从而可求P′，由直线PM₁的方程及抛物线方程可求y=

y0+1

x0

x-1则由方程的根与系数关系可得，x1=

1

x0

，同理可得x2=-

1

x0

可证

解答：（Ⅰ）解：由题意得  1+

1

2

p=

5

4

，
∴p=

1

2

所以抛物线的方程为y=x²…（6分）
（II）证明：设P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）因为y′=2x
则以点P₁为切点的抛物线的切线方程为
y-y₁=2x₁（x-x₁）      又y1=x12，所以y=2x1x-x12…（9分）
同理可得以点P₂为切点的抛物线的切线方程为y=2x2x-x22
由

y=2x1x-x12 y=2x2x-x22

解得x=

x1+x2

2

…（11分）
又过点P（x₀，y₀）与M₁（0，-1）的直线的斜率为k1=

y0+1

x0

所以直线PM₁的方程为y=

y0+1

x0

x-1
由

y= y0+1 x0 x-1 y=x2

得x2-

y0+1

x0

x+1=0
所x₀x₁=1，即x1=

1

x0

…（13分）
同理可得直线PM₂的方程y=

y0-1

x0

x+1
由

y= y0-1 x0 x+1 y=x2

得   x2-

y0-1

x0

x-1=0  
 所以x₀x₂=-1，即x2=-

1

x0

则x1+x2=

1

x0

+(-

1

x0

)=0，即P′得横坐标为0，
所以点P′在y轴上…（15分）

点评：本题主要考查了利用抛物线的性质求解抛物线的方程，直线与抛物线相交关系的应用，导数的几何意义的应用，属于综合试题