Question

已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中主视图、俯视图是全等的等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为

36π

．

Answer 1

分析：将三视图还原，得它是三棱锥A-BCD，其中△ACD和△BCD是全等的等腰直角三角形，且所在平面互相垂直．由此易得三棱锥外接球心是△ACD和△BCD公共斜边CD的中点E，得球半径R=3，再结合球的体积公式，即可得到该三棱锥的外接球体积．

解答：解：将三视图还原，可得它的实物如右图的三棱锥A-BCD
其中平面ACD⊥平面BCD，△ACD≌△BCD，且它们都是等腰直角三角形
E为CD的中点，连接AE、BE，得△AEB是等腰直角三角形
由此可得：EA=EB=EC=ED=3
∴点E是三棱锥A-BCD的外接球的球心，得外接球半径R=3
因此，得该三棱锥的外接球体积为V=

4π

3

×R³=

4π

3

×3³=36π
故答案为：36π

点评：本题将三视图还原为实物，并且求外接球的体积，着重考查了三视图的认识与理解和球内接多面体等知识，属于基础题．