Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一个焦点为F（1，0），且过点（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若AB为垂直于x轴的动弦，直线l：x=4与x轴交于点N，直线AF与BN交于点M．
   （ⅰ）求证：点M恒在椭圆C上；
   （ⅱ）求△AMN面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）根据题意，可得a=2且c=1，利用平方关系算出b²=3，因此可求出椭圆C的方程；
（II）（ⅰ）根据题意，得F（1，0），N（4，0）．设A（m，n），则B（m，-n），可得AF、BN以m、n为参数的方程，联解得出M（

5m-8

2m-5

，

3n

2m-5

），再M坐标代入椭圆方程加以验证，即可得到点M恒在椭圆C上；
（ii）设AM的方程为x=ty+1，与椭圆方程消去x得（3t²+4）y²+6ty-9=0．设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），由韦达定理将y₁+y₂、y₁y₂表示为关于t的式子，从而可得|y₁-y₂|=

4 3 • 3+3t2

3t2+4

，然后换元：令3t²+4=λ （λ≥4），可得|y₁-y₂=4

3

•

-( 1 λ - 1 2 )2+ 1 4

，根据二次函数的性质算出当

1

λ

=

1

4

时即t=0时，|y₁-y₂|取得最大值3，由此可得△AMN面积的最大值为

9

2

．

解答：解：（I）由题意得a=2且c=1
∴为

x2

4

+

y2

3

=1
（II）（ⅰ）根据题意，得F（1，0），N（4，0）
设A（m，n），则B（m，-n） （n≠0）
可得

m2

4

+

n2

3

=1
∵AF、BN方程分别为m（x-1）-（m-1）y=0
和m（x-4）-（m-4）y=0
∴M（x₀，y₀）满足

m(x0-1)-(m-1)y0=0 m(x0-4)-(m-4)y0=0

，
联解得x₀=

5m-8

2m-5

，y₀=

3n

2m-5

由于

x02

4

+

y02

3

=

1

4

(

5m-8

2m-5

)2+

1

3

(

3n

2m-5

)2=

(5m-8)2+12n2

4(2m-5)2

=

(5m-8)2+36-9m 2

4(2m-5)2

=1
所以点M恒在椭圆C上；
（ii）设AM的方程为x=ty+1，与

x2

4

+

y2

3

=1消去x得（3t²+4）y²+6ty-9=0
设A（x₁，y₁），M（x₂，y₂），可得y₁+y₂=

-6t

3t2+4

，y₁y₂=

-9

3t2+4

∴|y₁-y₂|²=（y₁+y₂）²-4y₁y₂=（

-6t

3t2+4

）²+

36

3t2+4

=

144t2+144

(3t2+4)2

可得|y₁-y₂|=

144t2+144 (3t2+4)2

=

4 3 • 3+3t2

3t2+4

令3t²+4=λ （λ≥4），可得|y₁-y₂|=4

3

•

- 1 λ2 + 1 λ

=4

3

•

-( 1 λ - 1 2 )2+ 1 4

∵λ≥4，可得

1

λ

∈（0，

1

4

]，
∴当

1

λ

=

1

4

时，即t=0时，|y₁-y₂|取得最大值3，此时AM经过点F
∵△AMN面积S=

1

2

|FN|•|y₁-y₂|=

3

2

|y₁-y₂|≤

9

2

∴当t=0时，即直线AB与x轴垂直时，△AMN面积的最大值为

9

2

．

点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程，并求证直线经过定点、求△AMN面积的最大值．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．