Question

已知集合A={x|log₂（x-1）＜1}，集合B={x|x²-ax+b＜0，a，b∈R}．
（1）若A=B，求a，b的值；
（2）若b=3，且A∪B=A，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先化简集合A，再利用A=B，从而将问题转化为x²-ax+b=0的两根分别为1和3，利用韦达定理可求；
（2）由A∪B=A知，B⊆A，再分B是空集与非空集合讨论，进而求并集即可．

解答：解：（1）由log₂（x-1）＜1得0＜x-1＜2，所以集合A={x|1＜x＜3}．                  （2'）
由A=B知，x²-ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜3}，所以方程x²-ax+b=0的两根分别为1和3．
由韦达定理可知，

a=1+3 b=1×3

，解得a=4，b=3，即为所求．                      （4'）
（2）由A∪B=A知，B⊆A．                                           （5'）
①当B=∅时，有△=a²-12≤0，解得-2

3

≤a≤2

3

；                         （7'）
②当B≠∅时，设函数f（x）=x²-ax+3，其图象的对称轴为x=

a

2

，则

△=a2-12＞0 f(1)=4-a≥0 f(3)=12-3a≥0 1＜ a 2 ＜3

解得2

3

＜a≤4．                             （11'）
综上①②可知，实数a的取值范围是[-2

3

，4]．                            （12'）

点评：本题以集合为载体，考查集合之间的关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．