题目内容
【题目】已知椭圆C:的左、右焦点分别是
,点
,若
的内切圆的半径与外接圆的半径的比是
.
(1)求椭圆C的方程;
(2)点M是椭圆C的左顶点,P、Q是椭圆上异于左、右顶点的两点,设直线MP、MQ的斜率分别为、
,若
,试问直线PQ是否过定点?若过定点,求该定点坐标;若不过定点,请说明理由.
【答案】(1);(2)是,
.
【解析】
(1)设内切圆和外接圆的半径分别是,则
.利用三角形的面积公式求得
与
的关系式,利用正弦定理求得
与
的关系式,由此求得
两者直线的关系式,进而求得
的值,以及椭圆
的方程.
(2)当直线的斜率不存在时,设出
的坐标,利用
列方程,结合
在椭圆上,求得
的坐标,由此求得直线
的方程.当直线
斜率存在时,设出直线
的方程
,代入椭圆方程,化简后写出韦达定理和判别式,利用
列方程,求得
的关系式,由此判断出直线
所过定点坐标.
(1)由已知是椭圆
的顶点,又
分别是椭圆的左右焦点,则有
,且
.设
的内切圆半径与外接圆的半径分别是
和
,则
.由
,得
,得
.
设,在
中,
,在
中,由正弦定理得
,即
,所以
.所以
,即
,即
,化简得
,解得
(
舍去),所以
.所以所求椭圆
的方程是
.
(2)由已知,设
,
若直线PQ的斜率不存在,不妨设
,
由得
,即
,
又,
即,得
,解得
舍
或
,
或
,此时直线PQ的方程为
,
若直线PQ的斜率存在,设直线PQ的方程为
,
由,得
,
,
由,得
,
又,即
,
即,即
,
整理得,
,
整理得,解得
,或
,
当时,直线PQ:
,即过定点
,不符合题意,
当时,直线PQ:
,即过定点
.
综上,直线PQ过定点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】第二届中国国际进口博览会于2019年11月5日至10日在上海国家会展中心举行.它是中国政府坚定支持贸易自由化和经济全球化,主动向世界开放市场的重要举措,有利于促进世界各国加强经贸交流合作,促进全球贸易和世界经济增长,推动开放世界经济发展.某机构为了解人们对“进博会”的关注度是否与性别有关,随机抽取了100名不同性别的人员(男、女各50名)进行问卷调查,并得到如下列联表:
男性 | 女性 | 合计 | |
关注度极高 | 35 | 14 | 49 |
关注度一般 | 15 | 36 | 51 |
合计 | 50 | 50 | 100 |
(1)根据列联表,能否有99.9%的把握认为对“进博会”的关注度与性别有关;
(2)若从关注度极高的被调查者中按男女分层抽样的方法抽取7人了解他们从事的职业情况,再从7人中任意选取2人谈谈关注“进博会”的原因,求这2人中至少有一名女性的概率.
附:.
参考数据:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |