题目内容

6、等差数列{an}的公差d不为0,Sn是其前n项和,给出下列命题:
①若d<0,且S3=S8,则S5和S6都是{Sn}中的最大项;
②给定n,对于一切k∈N*(k<n),都有an-k+an+k=2an
③若d>0,则{Sn}中一定有最小的项;
④存在k∈N*,使ak-ak+1和ak-ak-1同号.
其中正确命题的个数为(  )
分析:根据等差数列的求和公式sn=na1+$\frac{n(n-1)}{2}$d=$\frac{d}{2}$n2+(a1-$\frac{d}{2}$)n,因为d小于0得到sn是开口向下的抛物线,根据S3=S8得到抛物线的对称轴即可得到最大项,得到①正确;同理d大于0时,得到函数的最小项,③正确;根据等差中项的性质得到②正确;根据等差数列的通项公式和等差数列的性质得到ak-ak+1和ak-ak-1异号即④错.
解答:解:因为{an}成等差数列,所以其前n项和是关于n的二次函数的形式且缺少常数项,d<0说明二次函数开口向下,又S3=S8,说明函数关于直线x=5.5对称,所以S5、S6都是最大项,①正确;
同理,若d>0,说明函数是递增的,故{Sn}中一定存在最小的项,③正确;
而②是等差中项的推广,正确;
对于④,ak-ak+1=-d,ak-ak-1=d,因为d≠0,所以二者异号.
所以正确命题的个数为3个.
故选B
点评:考查学生灵活运用等差数列的前n项和的公式,掌握等差数列的性质和通项公式.
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