题目内容

已知函数f（x）=aln（1+ex）-（a+1）x．
（1）已知f（x）满足下面两个条件，求a的取值范围．
①在（-∞，1]上存在极值，
②对于任意的θ∈R，c∈R直线l：xsinθ+2y+c=0都不是函数y=f（x）（x∈（-1，+∞））图象的切线；
（2）若点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））从左到右依次是函数y=f（x）图象上三点，且2x2=x1+x3，当a＞0时，△ABC能否是等腰三角形？若能，求△ABC面积的最大值；若不能，请说明理由．
分析：（1）首先求出f（x）的导数：f'（x）=-
a+1+ex
1+ex
，接下来考虑条件①：（i）当a≥-1时，可得f'（x）＜0，f（x）在R上单调减，与题意不符；（ii）当a＜-1时，可得f'（x）≤0的解集为{x|x≥ln（-a-1）}，讨论f'（x）的符号，得到x0=ln（-a-1）是f（x）的极大值点，结合题意得ln（-a-1）＜1，所以a∈（-1-e，-1）．再考虑条件②：找出当a∈（-e-1，-1）时，满足条件②的a的取值范围，通过讨论f′（x）的导数，得到f′（x）在（1，+∞）上单调递减，而f'（1）=-1-
a
1+e 
，f′（x）在（1，+∞）上无限的趋近于-1，可得f'（x）∈（-1，-1-
a
1+e 
）．最后根据直线 l 的斜率k=-
1
2
sinθ≤-
1
2
且直线 l 不是函数f（x）图象的切线，得到-1-
a
1+ex
≤-
1
2
在（1，+∞）上恒成立，即-2a-1≤ex，由此可得a≥-
1+e
2
．最后综上所述可得a的取值范围是[-
1+e
2
，-1）．
（2）根据A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），不妨设x1＜x2＜x3，由（1）的讨论得f（x）在R上单调减，f（x1）＞f（x2）＞f（x3），且x2=
x1+x3
2
，由此可用反证法证明A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线．接下来用数量积的坐标运算，结合函数表达式证出
BA
•
BC
＜0，可得△ABC是中B为钝角．若△ABC能是等腰三角形，只能是|
BA
|=|
BC
|，代入所设的数据，并且化简整理，可得e2x2=ex1+ex3，最后用基本不等式得到 ex1=ex3，与x1＜x3矛盾，因此可得△ABC不可能为等腰三角形．
解答：解：（1）f'（x）=a•
ex
1+ex
-a-1=-
a+1+ex
1+ex
，接下来分两步：
㈠、先考虑条件①：
（i）当a+1≥0时，即a≥-1时，可得f'（x）＜0在R上恒成立，故f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，与题意不符．
（ii）当a+1＜0时，即a＜-1时，可得f'（x）≤0的解集为{x|x≥ln（-a-1）}，
此时f（x）在（ln（-a-1），+∞）上单调递减，在（-∞，ln（-a-1））上单调递增，
从而x0=ln（-a-1）是f（x）的极大值点，结合题意得ln（-a-1）＜1，a＞-1-e，所以a∈（-1-e，-1）．
㈡、下面找出当a∈（-e-1，-1）时，满足条件②的a的取值范围．
又∵f'（x）=-
a+1+ex
1+ex
=-1-
a
1+ex
，
设g（x）=-1-
a
1+ex
，则g'（x）=
aex
(1+ex)2
＜0恒成立，
所以f′（x）在（1，+∞）上单调递减，而f'（1）=-1-
a
1+e 
，
结合f′（x）在（1，+∞）上连续，当x无限的趋近于+∞时，f′（x）无限的趋近于-1，
可得f'（x）∈（-1，-1-
a
1+e 
）．
直线 l 的斜率k=-
1
2
sinθ，则 |k|≤
1
2
．
∵直线 l 不是函数f（x）图象的切线，
∴-1-
a
1+ex
≤-
1
2
在（1，+∞）上恒成立，即-2a-1≤ex在（1，+∞）上恒成立，
由此可得-2a-1≤e，即a≥-
1+e
2
．
综上所述，a的取值范围是[-
1+e
2
，-1）．
（2）由（1）知，a＞0时，f（x）在区间（-∞，+∞）上为减函数，
∵A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），
∴不妨设x1＜x2＜x3，可得f（x1）＞f（x2）＞f（x3），x2=
x1+x3
2
，
下面用反证法说明A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3））三点不共线：
若A、B、C三点共线，则有f（x2）=
1
2
（f（x1）+f（x3））
所以 2ex2=ex1+ex3≥2
ex1•ex3
，得x1=x3与x1＜x2＜x3矛盾．
接下来说明角B是钝角：
BA
=（x1-x2，f（x1）-f（x2）），
BC
=（x3-x2，f（x3）-f（x2））
∴
BA
•
BC
=（x1-x2）（x3-x2）+[f（x1）-f（x2）][f（x3）-f（x2）]
∵x1-x2＜0，x3-x2＞0，f（x1）-f（x2）＞0，f（x3）-f（x2）＜0，
∴
BA
•
BC
＜0，可得∠B∈（
π
2
，π），即△ABC是中B为钝角．
假设△ABC为等腰三角形，只能是 |
BA
|=|
BC
|
即：（x1-x2）2+[f（x1）-f（x2）]2=（x3-x2）2+[f（x3）-f（x2）]2
∵x2-x1=x3-x2，∴[f（x1）-f（x2）]2=[f（x3）-f（x2）]2
结合f（x1）＞f（x2）＞f（x3），化简得2f（x2）=f（x1）+f（x3），
也就是2aln（1+ex2）-2（a+1）x2=aln（1+ex1）（1+ex3）-（a+1）（x1+x3）
将2x2=x1+x3代入即得：2aln（1+ex2）-2（a+1）x2=aln（1+ex1）（1+ex3）-2（a+1）x2，
∴2ln（1+ex2）=ln（1+ex1）（1+ex3）?（1+ex2）2=（1+ex1）（1+ex3），
可得e2x2+2ex2=ex1+x3+ex1+ex3?e2x2=ex1+ex3①
而事实上，若①成立，根据ex1+ex3≥2
ex1•ex3
=2ex2，
必然得到 ex1=ex3，与x1＜x3矛盾．
所以△ABC不可能为等腰三角形．
点评：本题综合了利用导数研究曲线上某点切线方程、函数在某点取得极值的条件和直角坐标系中判断三角形的形状等知识点，属于难题．
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已知函数f（x）=
a-x2
x
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1
2
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1
4
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34
的解集为
（-∞，-2）
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．
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2x
)＞3．
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．

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