题目内容
(本小题满分18分)设数列{}的前项和为,且满足=2-,(=1,2,3,…)
(Ⅰ)求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{}满足=1,且,求数列{}的通项公式;
(Ⅲ),求的前项和
(Ⅰ)求数列{}的通项公式;
(Ⅱ)若数列{}满足=1,且,求数列{}的通项公式;
(Ⅲ),求的前项和
(Ⅰ) an=(n∈N*); (Ⅱ) bn=3-2()n-; (Ⅲ) 。
试题分析:(Ⅰ)∵n=1时,a1+S1=a1+a1=2
∴a1=1
∵Sn=2-an即an+Sn=2 ∴an+1+Sn+1=2
两式相减:an+1-an+Sn+1-Sn=0
即an+1-an+an+1=0,故有2an+1=an
∵an≠0 ∴(n∈N*)
所以,数列{an}为首项a1=1,公比为的等比数列.an=(n∈N*)
(Ⅱ)∵bn+1=bn+an(n=1,2,3,…)
∴bn+1-bn=()n-1
得b2-b1=1
b3-b2=
b4-b3=()2
……
bn-bn-1=()n-2(n=2,3,…)
将这n-1个等式相加,得
bn-b1=1+
又∵b1=1,∴bn=3-2()n-1(n=1,2,3,…)
(3)
所以
点评:若已知递推公式为的形式求通项公式常用累加法。
注:①若是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若是关于n的二次函数,累加后可分组求和;
③是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和;
④是关于n的分式函数,累加后可裂项求和。
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