题目内容

19、已知数列{an}的前n项和为Sn,点(an+2,Sn+1)在直线y=4x-5上,其中n∈N*.令bn=an+1-2an.且a1=1.求数列{bn}的通项公式;若f(x)=b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn,计算f′(1)的结果.
分析:(1)把点的坐标代入到直线解析式中得到sn+1,推出sn,相减得到an+1=4an-4an-1∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2)根据bn=an+1-2an.且a1=1得到{bn}是公比为2的等比数列写出通项公式即可;
(2)因为f(x)=b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn,求出f′(x),则f′(1)=b1+2b2+…+nbn,由(1)知f′(1)是{n•2n+1}的前n项和,利用错位相减法得到即可.
解答:解:(1)依题意可得sn+1=4(an+2)-5=4an+3
∴当n≥2时,sn=4an-1+3,
两式相减得an+1=4an-4an-1∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2)即bn=2bn-1(n≥2)
∴{bn}是公比为2的等比数列,又b1=a2-2a1=4
∴bn=4•2n-1=2n+1
(2)f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn
∴f′(x)=b1+2b2x+…+nbnxn-1
∴f′(1)=b1+2b2+…+nbn
由(1)解知f′(1)=22+2•23+3•24+…+n•2n+1
∴f′(1)是{n•2n+1}的前n项和,
错位相减法得f′(1)=4+(n-1)•2n+2
点评:利用等比数列通项公式的能力,运用导数运算的能力.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网