题目内容

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)满足：对任意实数x，都有f(x)≥x，且当x∈(1，3)时，有f(x)≤(x＋2)2成立．

(1)证明：f(2)＝2；

(2)若f(－2)＝0，求f(x)的表达式；

(3)设g(x)＝f(x)－x，x∈[0，＋∞)，若g(x)图像上的点都位于直线的上方，求实数m的取值范围．

答案：
解析：

　　解：(1)由条件知：

　　恒成立…………2分

　　恒成立

　　…………4分

　　(2)

　　…………6分

　　又恒成立

　　…………8分

　　解出：…………9分

　　(3)由分析条件知道，只要f(x)图象(在y轴右侧)总在直线上方即可，

　　也就是直线的斜率小于直线与抛物线相切时的斜率位置，…………10分

　　于是：…………12分

　　利用相切时Δ=0，解出m=1＋

　　…………14分

　　另解：必须恒成立……10分

　　即恒成立

　　①

　　解得：…………11分

　　②…………14分


练习册系列答案
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已知二次函数f(x)=ax2+bx+
1
2
满足f（1+x）=f（1-x）且方程f(x)=
5
2
-x有等根
（1）求f（x）的表达式；
（2）若f（x）在定义域（-1，t]上的值域为（-1，1]，求t的取值范围；
（3）是否存在实数m、n（m＜n），使f（x）定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，若存在，求出m、n的值．
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c，函数y=f(x)+
2
3
x-1的图象过原点且关于y轴对称，记函数 h(x)=
x
f(x)．
（I）求b，c的值；
（Ⅱ）当a=
1
10
时，求函数y=h(x)的单调递减区间；
（Ⅲ）试讨论函数 y=h（x）的图象上垂直于y轴的切线的存在情况．
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）若方程g（x）=x的两实根为x1，x2f（x）=0的两根为x3，x4，求使x3＜x1＜x2＜x4成立的a的取值范围．
已知二次函数f(x)=
-x2-x+2
的定义域为A，若对任意的x∈A，不等式x2-4x+k≥0成立，则实数k的最小值为
3
3
．
已知二次函数f(x)=ax2+bx+1和g(x)=
bx-1a2x+2b

（1）f（x）为偶函数，试判断g（x）的奇偶性；
（2）若方程g（x）=x有两个不相等的实根，当a＞0时判断f（x）在（-1，1）上的单调性；
（3）当b=2a时，问是否存在x的值，使满足-1≤a≤1且a≠0的任意实数a，不等式f（x）＜4恒成立？并说明理由．

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