Question

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，已知cos

C

2

=

5

3

．
（I）求cosC的值；
（II）若acosB+bcosA=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析：（I）所求的式子cosC利用二倍角的余弦函数公式化简后，将已知的cos

C

2

的值代入即可求出值；
（II）利用余弦定理分别表示出cosB和cosA，代入到已知的等式中，化简后即可求出c的值，然后利用余弦定理表示出c²=a²+b²-2abcosC，把c及cosC的值代入后，利用基本不等式即可求出ab的最大值，然后由cosC的值，及C的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，把ab的最大值及sinC的值代入即可求出面积的最大值．

解答：解：（Ⅰ）∵cos

C

2

=

5

3

，
∴cosC=2cos2

C

2

-1=2(

5

3

)2-1=

1

9

；（7分）
（Ⅱ）∵acosB+bcosA=2，
∴a×

a2+c2-b2

2ac

+b×

c2+b2-a2

2bc

=2，
∴c=2（9分）
∴4=a2+b2-2ab×

1

9

≥2ab-2ab×

1

9

=

16

9

ab，
∴ab≤

9

4

（当且仅当a=b=

3

2

时等号成立）（12分）
由cosC=

1

9

，得sinC=

4 5

9

（13分）
∴S△ABC=

1

2

absinC≤

1

2

×

9

4

×

4 5

9

=

5

2

，
故△ABC的面积最大值为

5

2

（14分）

点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，基本不等式，余弦定理及三角形的面积公式．熟练掌握公式及定理是解本题的关键．