题目内容
4.在△ABC中,A、B、C所对的边分别是a、b、c,$\overrightarrow{m}$=(b-a,a-c-b),$\overrightarrow{n}$=(a-c,b+c),若$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$,且a(sinB-cosC)=c•cosA,则C等于( )A. | $\frac{π}{4}$ | B. | $\frac{π}{6}$ | C. | $\frac{π}{3}$ | D. | $\frac{π}{2}$ |
分析 $\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$,可得(a-c)(a-c-b)-(b-a)(b+c)=0,化为:a2+c2-b2=ac.利用余弦定理可得:B.由a(sinB-cosC)=c•cosA,利用正弦定理可得:sinA(sinB-cosC)=sinC•cosA,利用和差公式化简可得A,再利用三角形内角和定理即可得出.
解答 解:∵$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$,
∴(a-c)(a-c-b)-(b-a)(b+c)=0,
化为:a2+c2-b2=ac.
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$,
∵B∈(0,π),
∴$B=\frac{π}{3}$.
∵a(sinB-cosC)=c•cosA,
∴sinA(sinB-cosC)=sinC•cosA,
∴sinAsinB=sinAcosC+sinC•cosA,
∴sinAsinB=sin(A+C)=sinB,
∴sinA=1,∵A∈(0,π),
∴A=$\frac{π}{2}$.
∴C=π-A-B=π-$\frac{π}{2}$-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{6}$.
故选:B.
点评 本题考查了向量数量积的运算性质、和差公式、三角形内角和定理、正弦定理余弦定理,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
练习册系列答案
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