Question

18．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是（0，-1），（0，1），且AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0）．
（1）求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（2）当m=-$\frac{1}{2}$时，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M，试问：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积是否为定值．若是，求出定值，若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设点C（x，y），由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），分类讨论，即可求顶点C的轨迹E的方程，并判断轨迹E为何种圆锥曲线；
（（2）当m=-$\frac{1}{2}$时，曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1（x≠0）$．设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解K_OM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．

解答 解：（1）设点C（x，y），由AC，BC所在直线的斜率之积等于m（m≠0），
得：$\frac{y-1}{x}•\frac{y+1}{x}$=m，化简得：-mx²+y²=1（x≠0）．
当m＜-1时，轨迹E表示焦点在y轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；
当m=-1时，轨迹E表示以（0，0）为圆心，半径是1的圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；
当-1＜m＜0时，轨迹E表示焦点在x轴上的椭圆，且除去（0，1），（0，-1）两点；
当m＞0时，轨迹E表示焦点在y轴上的双曲线，且除去（0，1），（0，-1）两点．
（2）当m=-$\frac{1}{2}$时，曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1（x≠0）$．
设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x_M，y_M）．
将y=kx+b代入$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-8=0
故${x_m}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{-2kb}{{2{k^2}+1}}，{y_m}=k•{x_m}+b=\frac{b}{{2{k^2}+1}}$
于是直线OM的斜率${k_{om}}=\frac{y_m}{x_m}=-\frac{1}{2k}，即{k_{om}}．k=-\frac{1}{2}$
所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．

点评 本题考查椭圆方程的综合应用，椭圆的方程的求法，考查分析问题解决问题的能力．