Question

11．已知函数$f（x）=\frac{{{2^x}+b}}{{{2^x}+a}}$，且$f（1）=\frac{1}{3}$，f（0）=0
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）求证：方程f（x）=lnx至少有一根在区间（1，3）．

Answer 1

分析 （1）根据f（1）和f（0）列方程，求出a，b；
（2）由y=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$，分离2^x=$\frac{1+y}{1-y}$＞0，求得值域；
（3）构造函数g（x）=f（x）-lnx，运用函数零点存在定理，确定函数在（1，3）存在零点．

解答 解：（1）由已知可得$f（1）=\frac{2+b}{2+a}=\frac{1}{3}$，$f（0）=\frac{1+b}{1+a}=0$，
解得，a=1，b=-1，所以，$f（x）=\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}$；
（2）∵y=f（x）=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$，∴分离2^x得，2^x=$\frac{1+y}{1-y}$，
由2^x＞0，解得y∈（-1，1），
所以，函数f（x）的值域为（-1，1）；
（3）令g（x）=f（x）-lnx=$\frac{2^x-1}{2^x+1}$-lnx，因为，
g（1）=f（1）-ln1=$\frac{1}{3}$＞0，
g（3）=f（3）-ln3=$\frac{7}{9}$-ln3＜0，
根据零点存在定理，函数g（x）至少有一零点在区间（1，3），
因此，方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．

点评 本题主要考查了函数解析式的求法，函数值域的求法，以及方程根的存在性及根的个数判断，属于中档题．