题目内容
3．已知数列{an}满足递推式an=2an-1+1（n≥2），其中a4=15（1）求数列{an}的通项公式；
（2）已知数列{bn}，有bn=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$，求数列{bn}的前n项和Sn．
分析 （1）通过对an=2an-1+1（n≥2）变形可知an+1=2（an-1+1）（n≥2），利用a4+1=16可知an+1=2n，进而可得结论；
（2）通过（1）知bn=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论．
解答 解：（1）∵an=2an-1+1（n≥2），
∴an+1=2（an-1+1）（n≥2），
即数列{an+1}是公比为2的等比数列，
又∵a4+1=15+1=16，
∴an+1=16•2n-4=2n，
∴an=-1+2n；
（2）由（1）知bn=$\frac{n}{{a}_{n}+1}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴Sn=$\frac{1}{2}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$Sn=$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，②
①-②得：$\frac{1}{2}$Sn=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$
=1-$\frac{n+2}{{2}^{n+1}}$，
整理得：Sn=2-$\frac{n+2}{{2}^{n}}$．
点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．
如图，△OAB是边长为4的等边三角形，记△OAB位于直线x=t（t＞0）左侧的图形的面积为f（t），试求函数f（t）的解析式．
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD=4，DC=DB=3，PB=PC=5，AD⊥DB．| A． | （$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）∪（π，$\frac{5π}{4}$） | B． | （$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）∪（π，$\frac{5π}{4}$） | C． | （$\frac{π}{2}$，$\frac{3π}{4}$）∪（$\frac{5π}{4}，\frac{3π}{2}$） | D． | （$\frac{π}{4}，\frac{π}{2}$）∪（$\frac{3π}{4}，π$） |
如图所示，过圆柱的两条母线AA1和BB1的截面A1 ABB1 的面积为S，母线AA1 的长为l，∠A1 O1 B1=90°，求此圆柱的体积．