Question

（本小题满分12分）

已知椭圆方程为，P为椭圆上的动点，F₁、F₂为椭圆的两焦点，当点P不在x轴上时，过F₁作∠F₁PF₂的外角平分线的垂线F₁M，垂足为M，当点P在x轴上时，定义M与P重合．

（Ⅰ）求M点的轨迹T的方程；

（Ⅱ）已知、，试探究是否存在这样的点：是轨迹T内部的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）当点P不在x轴上时，延长F₁M与F₂P的延长线相交于点N,连结OM，

∵,  ∴≌ ∴M是线段的中点，|，

∴ = ==

∵点P在椭圆上

∴＝    ∴＝4，

当点P在x轴上时，M与P重合

∴M点的轨迹T的方程为：．

（Ⅱ）连结OE，易知轨迹T上有两个点

A，B满足,

分别过A、B作直线OE的两条平行线、.

∵同底等高的两个三角形的面积相等

∴符合条件的点均在直线、上.

∵   ∴直线、的方程分别为：

、

设点 （ ）∵在轨迹T内，∴

分别解与，得 与

∵∴为偶数，在上对应的

在上，对应的

∴满足条件的点存在，共有6个，它们的坐标分别为：

．