Question

在抛物线y=4x²上求一点，使该点到直线y=4x-5的距离最短，该点的坐标是

 

．

Answer 1

分析：联立直线与抛物线方程，利用判别式等于0，求出直线方程，解出所求点的坐标．

解答：解法一：设与y=4x-5平行的直线y=4x+b与y=4x²相切，则y=4x+b代入y=4x²，得4x²-4x-b=0．①
△=16+16b=0时b=-1，代入①得x=

1

2

，
∴所求点为（

1

2

，1）．
解法二：设该点坐标为A（x₀，y₀），那么有y₀=4x₀²．设点A到直线y=4x-5的距离为d，则
d=

|4x0-y0-5|

42+1

=

1

17

|-4x₀²+4x₀-5|=

1

17

|4x₀²-4x₀+5|=

1

17

|4（x₀-

1

2

）²+1|．
当且仅当x₀=

1

2

时，d有最小值，
将x₀=

1

2

代入y=4x²解得y₀=1．
故A点坐标为（

1

2

，1）．
故答案为：（

1

2

，1）．

点评：本题考查点到直线的距离，直线与抛物线的位置关系，是中档题．