题目内容
【题目】设为数列
的前
项和,对任意的
,都有
为常数,且
.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)设数列的公比
,数列
满足
,
),求数列
的通项公式;
(3)在满足(2)的条件下,求证:数列的前
项和
.
【答案】(1)证明过程见详解;(2)(
);(3)证明过程见详解.
【解析】
(1)先由题意求出;再由
,即可证明数列是等比数列;
(2)由(1)的结果得到,,
.
再由,得到
进而可求出结果;
(3)先由(2)知,则
,根据放缩法,与裂项相消,即可证明结论成立.
(1)证明:当时,
,解得
.
当时,
.
即.
∵为常数,且
,∴
.
∴数列是首项为1,公比为
的等比数列.
(2)解:由(1)得,,
.
∵,
∴,即
.
∴是首项为
,公差为1的等差数列.
∴,即
(
).
(3)证明:由(2)知,则
,
所以,
当时,
,
所以
.
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练习册系列答案
相关题目
【题目】某地区某农产品近几年的产量统计如表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
年份代码t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
年产量y(万吨) | 6.6 | 6.7 | 7 | 7.1 | 7.2 | 7.4 |
(Ⅰ)根据表中数据,建立关于的线性回归方程
;
(Ⅱ)根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为:
,
.(参考数据:
,计算结果保留小数点后两位)
【题目】如表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.
x | 3 | 4 | 5 | 6 |
y | 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)请画出表中数据的散点图;
(2)请根据表中提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(3)根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗多少吨标准煤?
(附:,
)