题目内容
在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c.若b2=ac,求y=1+sin2B | sinB+cosB |
分析:由a、b及c依次成等比数列,根据等比数列的性质得到b2=ac,然后根据余弦定理表示出cosB,把b2=ac代入后化简,利用基本不等式即可求出cosB大于等于
,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值得到B的范围,把所求的式子的分子中的“1”变为sin2B+cos2B,sin2B利用二倍角的正弦函数公式化简,分子刚好为一个完全平方式,与分母约分后得到sinB+cosB,然后提取
,利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角(B+
)的正弦函数,根据B的范围,求出B+
的范围,根据正弦函数的值域及图象,得到sin(B+
)的范围,进而得到y的范围.
1 |
2 |
2 |
π |
4 |
π |
4 |
π |
4 |
解答:解:∵b2=ac,
∴cosB=
=
=
(
+
)-
≥
.
∴0<B≤
,
y=
=
=sinB+cosB=
sin(B+
).
∵
<B+
≤
,
∴
<sin(B+
)≤1.
故1<y≤
.
∴cosB=
a2+c2-b2 |
2ac |
a2+c2-ac |
2ac |
1 |
2 |
a |
c |
c |
a |
1 |
2 |
1 |
2 |
∴0<B≤
π |
3 |
y=
1+sin2B |
sinB+cosB |
(sinB+cosB)2 |
sinB+cosB |
2 |
π |
4 |
∵
π |
4 |
π |
4 |
7π |
12 |
∴
| ||
2 |
π |
4 |
故1<y≤
2 |
点评:此题考查学生掌握等比数列的性质及正弦函数的值域,灵活运用余弦定理及同角三角函数间的基本关系化简求值,灵活运用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道中档题.

练习册系列答案
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在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,若b2+c2-a2=
bc,且b=
a,则下列关系一定不成立的是( )
3 |
3 |
A、a=c |
B、b=c |
C、2a=c |
D、a2+b2=c2 |