题目内容

在△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c.若b2=ac,求y=
1+sin2BsinB+cosB
的取值范围.
分析:由a、b及c依次成等比数列,根据等比数列的性质得到b2=ac,然后根据余弦定理表示出cosB,把b2=ac代入后化简,利用基本不等式即可求出cosB大于等于
1
2
,由B为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值得到B的范围,把所求的式子的分子中的“1”变为sin2B+cos2B,sin2B利用二倍角的正弦函数公式化简,分子刚好为一个完全平方式,与分母约分后得到sinB+cosB,然后提取
2
,利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角(B+
π
4
)的正弦函数,根据B的范围,求出B+
π
4
的范围,根据正弦函数的值域及图象,得到sin(B+
π
4
)的范围,进而得到y的范围.
解答:解:∵b2=ac,
∴cosB=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
=
1
2
a
c
+
c
a
)-
1
2
1
2

∴0<B≤
π
3

y=
1+sin2B
sinB+cosB
=
(sinB+cosB)2
sinB+cosB
=sinB+cosB=
2
sin(B+
π
4
).
π
4
<B+
π
4
12

2
2
<sin(B+
π
4
)≤1.
故1<y≤
2
点评:此题考查学生掌握等比数列的性质及正弦函数的值域,灵活运用余弦定理及同角三角函数间的基本关系化简求值,灵活运用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值,是一道中档题.
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