Question

【题目】已知f（x）是二次函数，若f（0）=0且f（x+1）﹣f（x）=x+1，求函数f（x）的解析式，并求出它在区间[﹣1，3]上的最大、最小值．

Answer 1

【答案】解：∵f（0）=0，∴可设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）．∵f（x+1）﹣f（x）=x+1，∴a（x+1）2+b（x+1）﹣[ax2+bx]=x+1，
化为（2a﹣1）x+a+b﹣1=0．
此式对于任意实数x恒成立，因此 ，解得 ．
∴ ．
∵ ．
∴函数f（x）在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
∵f（﹣1）=0， ，f（3）=6．
∴函数f（x）在区间[﹣1，3]上的最大、最小值分别为6，
【解析】由于f（0）=0，可设二次函数f（x）=ax2+bx（a≠0）．利用f（x+1）﹣f（x）=x+1，可得a（x+1）2+b（x+1）﹣[ax2+bx]=x+1，
化为（2a﹣1）x+a+b﹣1=0．此式对于任意实数x恒成立，因此 ，解出即可．通过配方即可得出其单调性，进而得出最值．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．