题目内容
(2012•自贡一模)已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx.
(I)求f(x)的解析式;
(II)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是3.如果存在,求出a的值,如果不存在,说明理由.
(I)求f(x)的解析式;
(II)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是3.如果存在,求出a的值,如果不存在,说明理由.
分析:(I)由已知中函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,结合当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx.我们可以根据函数奇偶性的性质,得到x∈[-e,0)时,函数的解析式,进而得到f(x)的解析式;
(II)由(I)中函数的解析式,我们可以求出函数的导函数的解析式,分类讨论后可得:当a<-
$}-\frac{1}{e}$时,-e≤x≤
?f′(x)=a-
<0,此时函数f(x)有最小值,再由f(x)的最小值是3,构造关于a的方程,解方程即可求了答案.
(II)由(I)中函数的解析式,我们可以求出函数的导函数的解析式,分类讨论后可得:当a<-
1 |
e |
1 |
a |
1 |
x |
解答:(1)设x∈[-e,0),则-x∈(0,e],∴f(-x)=-ax+ln(-x),
又f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x)
∴函数f(x)的解析式为f(x)=
(4分)
(2)假设存在实数a符合题意,先求导f′(x)=a-
,
①当a≥-
时,由于x∈[-e,0).则f′(x)=a-
≥0.
∴函数f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数,
∴f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,则a=-
<-
(舍去).(8分)
②当a<-
时,-e≤x≤
?f′(x)=a-
<0;
<x<0?f′(x)=a-
>0;
则f(x)=ax-ln(-x)在[-e,
]上递减,在[
,0)上递增,
∴f(x)min=f(
)=1-ln(-
)=3,解得a=-e2,
综合(1)(2)可知存在实数a=-e2,使得当x∈[-e,0)时,f(x)有最小值3.(12分)
又f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x)
∴函数f(x)的解析式为f(x)=
|
|
(2)假设存在实数a符合题意,先求导f′(x)=a-
1 |
x |
①当a≥-
1 |
e |
1 |
x |
∴函数f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数,
∴f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,则a=-
4 |
e |
1 |
e |
②当a<-
1 |
e |
1 |
a |
1 |
x |
1 |
a |
1 |
x |
则f(x)=ax-ln(-x)在[-e,
1 |
a |
1 |
a |
∴f(x)min=f(
1 |
a |
1 |
a |
综合(1)(2)可知存在实数a=-e2,使得当x∈[-e,0)时,f(x)有最小值3.(12分)
点评:本题考查的知识点是导数在最大值、最小值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法,其中结合奇函数的性质,求出函数的解析式是解答本题的关键.

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