题目内容

(2012•自贡一模)已知函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx.
(I)求f(x)的解析式;
(II)是否存在实数a,使得当x∈[-e,0)时,f(x)的最小值是3.如果存在,求出a的值,如果不存在,说明理由.
分析:(I)由已知中函数f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,结合当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx.我们可以根据函数奇偶性的性质,得到x∈[-e,0)时,函数的解析式,进而得到f(x)的解析式;
(II)由(I)中函数的解析式,我们可以求出函数的导函数的解析式,分类讨论后可得:当a<-
1
e
$}-\frac{1}{e}$时,-e≤x≤
1
a
?f′(x)=a-
1
x
<0,此时函数f(x)有最小值,再由f(x)的最小值是3,构造关于a的方程,解方程即可求了答案.
解答:(1)设x∈[-e,0),则-x∈(0,e],∴f(-x)=-ax+ln(-x),
又f(x)为奇函数,f(x)=-f(-x)=ax-ln(-x)
∴函数f(x)的解析式为f(x)=
ax-ln(-x)
ax+lnx
x∈[-e,0);
x∈(0,e].
(4分)
(2)假设存在实数a符合题意,先求导f′(x)=a-
1
x

①当a≥-
1
e
时,由于x∈[-e,0).则f′(x)=a-
1
x
≥0.
∴函数f(x)=ax-ln(-x)是[-e,0)上的增函数,
∴f(x)min=f(-e)=-ae-1=3,则a=-
4
e
<-
1
e
(舍去).(8分)
②当a<-
1
e
时,-e≤x≤
1
a
?f′(x)=a-
1
x
<0;
1
a
<x
<0?f′(x)=a-
1
x
>0;
则f(x)=ax-ln(-x)在[-e,
1
a
]
上递减,在[
1
a
,0)
上递增,
f(x)min=f(
1
a
)=1-ln(-
1
a
)=3
,解得a=-e2
综合(1)(2)可知存在实数a=-e2,使得当x∈[-e,0)时,f(x)有最小值3.(12分)
点评:本题考查的知识点是导数在最大值、最小值问题中的应用,函数解析式的求解及常用方法,其中结合奇函数的性质,求出函数的解析式是解答本题的关键.
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