题目内容

已知函数f（x）=ln（x+a），g（x）= $数学公式$ x³+b，直线l：y=x与y=f（x）相切，
（1）求a的值
（2）若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个解x₁，x₂求b的取值范围，并比较x₁x₂+1与x₁+x₂的大小．（3）设n≥2时，n∈N^*，求证： $数学公式$ $数学公式$ +… $数学公式$ ＜1

解：（1）设切（x₀，y₀），y₀=x₀， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴x₀+a=1，且y₀=ln（x₀+a）=0，∴x₀=0，a=1（3分）
（2）ln（x+a）= $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$
令h（x）= $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
在（0，1）上h^′（x）＜0，故h（x）在（0，1）单调减
在（1，+∞）上，h^′（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调增
∴ $\text{[math]}$ ，若h（x）图在（0，+∞）内x轴有两个不同的交点，则 $\text{[math]}$
，此时h（3）= $\text{[math]}$
所b的范围为 $\text{[math]}$ ．（8分）
由上知，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个x₁、x₂，满足0＜x₁＜1，x₂＞1，
∴x₁x₂+1-（x₁+x₂）=（1-x₁）（1-x₂）＜0
∴x₁x₂+1＜（x₁+x₂）
（3）求导数可证f（x）≤x，即ln（x+1）≤x（10分）
故n≥2，n∈N^*时，lnn＜n-1
∴ $\text{[math]}$ （12分）
∴ $\text{[math]}$ （13分）
分析：（1）考查导数的几何意义，方程思想解决
（2）考查构建函数，利用导数求函数范围，利用图象数形结合列式求解
（3）考查利用导数证明不等式，构建函数能力
点评：本题考查导数的综合应用，对学生的能力要求较大，属于难题

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已知函数f（x）=2x-2+ae^-x（a∈R）
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}的前n项和为S_n，则S₂₀₁₂的值为（　　）

已知函数f（x）=xlnx
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已知函数f（x）=

，a≠0且a≠1．
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，+∞）上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
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