Question

2．如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA=AB=AC=1，
∠BAC=∠BAP=120°．
（1）求证：AB⊥PC；
（2）若E为BC的中点，求直线PE与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）过P作PD⊥AB，交BA的延长线于D，连接CD，利用面面垂直，线面垂直，进一步得到线线垂直；
（2）由（1）得CD⊥平面PAB，以D为原点，DB，DC，DP分别为x，y，z轴建立坐标系，利用向量$\overrightarrow{PE}$与平面PAB的法向量的夹角求值．

解答 （1）证明：过P作PD⊥AB，交BA的延长线于D，连接CD，如图，
∵平面PAB⊥平面ABC，
∴PD⊥平面ABC，
∵PA=AB=AC=1，∠BAC=∠BAP=120°．
∴PD=PAsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，AD=$\frac{1}{2}$，
在△ACD中，AC=1，AD=$\frac{1}{2}$，∠DAC=60°，∴∠ADC=90°，故AD⊥CD，
∴BA⊥平面PCD，
∴BA⊥PC；
（2）由（1）得CD⊥平面PAB，以D为原点，DB，DC，DP分别为x，y，z轴建立坐标系，
则D（0，0，0，），P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），E（$\frac{3}{4}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0）
所以$\overrightarrow{PE}=（\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{3}}{4}，-\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{DC}=（0，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，
cos＜$\overrightarrow{PE}，\overrightarrow{DC}$＞=$\frac{\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{DC}}{|\overrightarrow{PE}||\overrightarrow{DC}|}$=$\frac{\frac{3}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，
所以直线PE与平面PAB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质定理的运用以及利用空间向量求线面角，属于中档题．