题目内容

设向量a=(x+1,y),b=(x-1,y),点P(x,y)为动点,已知|a|+|b|=4.

(Ⅰ)求点P的轨迹方程;

(Ⅱ)设点P的轨迹与x轴负半轴交于点A,过点F(1,0)的直线交点P的轨迹于B、C两点,试推断△ABC的面积是否存在最大值?若存在,求其最大值;若不存在,请说明理由.

(Ⅰ)(Ⅱ)△ABC的面积存在最大值,其最大值为


解析:

(Ⅰ)由已知,                         (1分)

所以动点P的轨迹M是以点为焦点,长轴长为4的椭圆.            (3分)

因为,则.                                          (4分)

故动点P的轨迹M的方程是.                                       (5分)

(Ⅱ)设直线BC的方程为

.                                  (6分)

设点,则.              (7分)

所以

.                      (8分)

由题设,点A的坐标是(-2,0),则点A到直线BC的距离.           (9分)

所以.

,则.                               (10分)

,则.因为当时,,则函数上是增函数.                                                                (11分)

所以当时,,从而,所以.              (12分)

故△ABC的面积存在最大值,其最大值为.                                    (13分)

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