题目内容
设向量a＝(x＋1，y)，b＝(x－1，y)，点P(x，y)为动点，已知|a|＋|b|＝4.
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）设点P的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F(1，0)的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由.
（Ⅰ）
（Ⅱ）△ABC的面积存在最大值，其最大值为
解析:
（Ⅰ）由已知，
（1分）
所以动点P的轨迹M是以点
为焦点，长轴长为4的椭圆. （3分）
因为
，则
. （4分）
故动点P的轨迹M的方程是
. （5分）
（Ⅱ）设直线BC的方程为
，
由
. （6分）
设点
，则
，
. （7分）
所以
. （8分）
由题设，点A的坐标是(－2，0)，则点A到直线BC的距离
. （9分）
所以
.
令
，则
. （10分）
设
，则
.因为当
时，
，则函数在
上是增函数. （11分）
所以当时，
，从而
，所以
. （12分）
故△ABC的面积存在最大值，其最大值为
. （13分）
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