Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足：a₁=λ，a_n+1=

2

3

a_n+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ为实数，n为正整数．
（Ⅰ）证明：当λ≠-18时，数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设S_n为数列{b_n}的前n项和，是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）假设存在一个实数?，使{a_n}是等比数列，由题意知（

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3

λ-3）²=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ²-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）由题设条件知b₁=-（λ+18）≠0.bn≠0，∴

bn+1

bn

=-

2

3

(n∈Nn)，故当λ≠-18，时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

2

3

为公比的等比数列．
（Ⅲ）由题设条件得bn=-(λ+18)•(-

2

3

)n-1，Sn=-

3

5

(λ+18)•[1-(-

2

3

)n]，由此入手能够推出存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．

解答：解：（Ⅰ）证明：假设存在一个实数?，使{a_n}是等比数列，则有a₂²=a₁a₂，即
（

2

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λ-3）²=λ(

4

9

λ-4)?

4

9

λ²-4λ+9=

4

9

λ2-4λ?9=0，矛盾．
所以{a_n}不是等比数列．
（Ⅱ）证明：∵bn+1=(-1)n+1[aa+1-3{n+1}+21]=(-1)n+1(

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an-2n+14)
=-

2

3

(-1)，(an-3n+21)=-

2

3

bn．
λ≠-18，∴b₁=-（λ+18）≠0．
由上式知bn≠0，∴

bn+1

bn

=-

2

3

(n∈Nn)，
故当λ≠-18，时，数列{b_n}是以-（λ+18）为首项，-

2

3

为公比的等比数列．
（Ⅲ）当λ≠-18时，由（Ⅱ）得bn=-(λ+18)•(-

2

3

)n-1，
于是Sn=-

3

5

(λ+18)•[1-(-

2

3

)n]，
当λ=-18时，b_n=0，从而S_n=0．上式仍成立．
要使对任意正整数n，都有S_n＞-12．
即-

3

5

(λ+18)•[1-(-

2

3

)n]＞12?λ

20

1-(- 2 3 )n

-18．
令f(n)=1-(-

2

3

)n，则
当n为正奇数时，1＜f(n)≤

5

3

：当n为正偶数时，

5

9

≤f(n)＜1，∴f(n)的最大值为f(1)=

5

3

．
于是可得λ＜20×

3

5

-18=-6．
综上所述，存在实数λ，使得对任意正整数n，都有S_n＞-12；λ的取值范围为（-∞，-6）．

点评：本题考查数列的综合应用，解题时要注意公式的灵活运用．