Question

已知椭圆

x2

4

+

y2

b

=1（0＜b＜4）的右焦点为F，左右顶点分别为C、A，上顶点为B，过B，C，F作圆P．
（Ⅰ）当b=1时，求圆P的方程；
（Ⅱ）求证：直线AB与圆P不可能相切．

Answer 1

分析：（I）利用已知和椭圆的性质即可得出a，b，c．进而得到点B，C，F的坐标，设出圆的一般方程，利用待定系数法即可得出；
（II）利用反证法和圆的切线的性质即可证明．

解答：解：（I）当b=1时，椭圆方程为

x2

4

+y2=1，
∴a²=4，得a=2．∴c=

a2-b2

=

3

．
∴A（2，0），B（0，1），C（-2，0），F(

3

，0)．
设圆P的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0；
则

1+E+F=0 4-2D+F=0 3+ 3 D+F=0

，解得

D=2- 3 E=2 3 -1 F=-2 3

．
∴圆P的方程为x2+y2+(2-

3

)x+(2

3

-1)y-2

3

=0．
（II）用反证法证明：假设直线AB与圆P相切，则切点为B．设圆心P(

c-a

2

，d)，
则

AB

=(-a，b)，

PB

=(

a-c

2

，b-d).

PC

=(

-a-c

2

，-d)，
∴

AB

•

PB

=0，又|

PB

|=|

PC

|，
∴

-a• a-c 2 +b(b-d)=0 ( a-c 2 )2+(b-d)2 = ( -a-c 2 )2+d2

，
消去d可得c²-4c=0．
解得c=0或4．
∵c=

4-b

，0＜b＜4．
∴0＜c＜4．
故假设不成立．
即直线AB与圆P不可能相切．

点评：熟练掌握椭圆的性质、圆的切线性质及其一般方程、待定系数法、反证法等是解题的关键．