Question

设抛物线的准线与x轴的交点为，过点作直线交抛物线于两点.

(1)求线段中点的轨迹方程；

(2)若线段的垂直平分线交轴于，求证：；

(3)若直线的斜率依次取时，线段的垂直平分线与x轴的交点依次为，当时，求的值.

 

Answer 1

【答案】

(1)

(2)见解析

(3)

【解析】本试题主要是考查了抛物线方程以及抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系的综合运用，求解中点轨迹方程。并能借助于直线的方程，求解与z轴的交点，并证明坐标构成的等比数列的求和的综合运用

解：（1）抛物线的准线为，设

代入得

由得

设线段的中点为，则消去，得

即为所求中点的轨迹方程；          4分

（2）     线段的垂直平分线方程为.

令,得;           8分

（3）当斜率时，

,

是以为首项，以为公比的等比数列，且

故.