题目内容

【题目】【2017广东佛山二模】如图,矩形中, 边上,且,将沿折到的位置,使得平面平面.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)求二面角的余弦值.

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).

【解析】试题分析:(I)连接于点,根据对应边成比例可证得两个直角三角形相似,由此证得,而,故平面,所以.(II)由(I)知平面,以为原点联立空间直角坐标系,利用平面和平面的方向量,计算两个半平面所成角的余弦值.

试题解析:

(Ⅰ)连接于点,依题意得,所以

所以,所以,所以

,又 ,平面.

所以平面.

平面,所以.

(Ⅱ)因为平面平面

由(Ⅰ)知, 平面

为原点,建立空间直角坐标系如图所示.

中,易得

所以

设平面的法向量,则,即,解得

,得

显然平面的一个法向量为.

所以 ,所以二面角的余弦值为.

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