Question

（理科做）已知函数f（x）=x³+ax+b定义在区间[-1，1]上，且f（0）=f（1）．又P（x₁•y₁）、Q（x₂•y₂）是其图象上任意两点（x₁≠x₂）．
（1）求证：f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形；
（2）设直线PQ的斜率为k，求证：|k|＜2；
（3）若0≤x₁＜x₂≤1，求证：|y₁-y₂|＜1．

Answer 1

（1）f（0）=f（1），∴b=1+a+b得a=-1．（1分）
f（x）=x³-x+b的图象可由y=x³-x的图象向上（或下）平移b（或-b）个单位二得到．                                                                 （3分）
又y=x³-x是奇函数，其图象关于原点成中心对称图形，f（x）的图象关于点（0，b）成中心对称图形．                                                         （5分）
（2）∵点P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）在f（x）=x³-x+b的图象上，k=

y 1-y 2

x 1-x2

=x2 1-

x

32

+x 1x 2-1．           （7分）
又x₁、x₂∈[-1，1]，x₁≠x₂∵0＜x₁²+x₂²+x₁x₂＜3，从而-1＜x₁²+x₂²+x₁x₂-1＜2
∴|k|=|x₁²+x₂²+x₁x₂-1|＜2                                     （11分）
（3）∵0≤x₁＜x₂≤1，且|y₁-y₂|＜2|x₁-x₂|=-2（x₁-x₂），①
又|y₁-y₂|=|f（x₁）-f（x₂）|=|f（x₁）-f（0）+f（1）-f（x₂）|≤|f（x₁）-f（0）|+|f（1）-f（x₂）|≤2|x₁-0|+2|x₂-1|=2（x₁-0）+2（1-x₂）=2（x₁-x₂）+2②
①+②得2|y₁-y₂|＜2，故|y₁-y₂|＜1（14分）