Question

（理科做）已知函数f（x）=lnx-a²x²+ax（a≥0）．
（1）当a=1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（2）若函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入函数，利用导数判断出函数的单调性求出最值，判断出最值的符号，然后分区间讨论可得到零点的个数．
（2）方法一：对参数a进行讨论，然后利用导数f′（x）≤0（注意函数的定义域）来解答，方法一是先解得单调减区间A，再与已知条件中的减区间（1，+∞）比较，即只需要（1，+∞）⊆A即可解答参数的取值范围；
方法二是要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，我们可以转化为f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立的问题来求解，然后利用二次函数的单调区间于对称轴的关系来解答也可达到目标．

解答：解：（1）当a=1时，f（x）=lnx-x²+x，其定义域是（0，+∞）
∴f′(x)=

1

x

-2x+1= -

2x2-x-1

x

       …（2分）
令f′（x）=0，即-

2x2-x-1

x

=0，解得x=-

1

2

或x=1．∵x＞0，
∴x=-

1

2

舍去．
当0＜x＜1时，f′（x）＞0；当x＞1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-1²+1=0．
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0．
∴函数f（x）只有一个零点．             …（7分）
（2）显然函数f（x）=lnx-a²x²+ax的定义域为是（0，+∞）
∴f′(x)=

1

x

-2a2x+a=

-2a2x2+ax+1

x

=

-(2a x +1)(ax-1)

x

…（8分）
1当a=0时，f′(x)=

1

x

＞0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意   …（9分）
2 当a＞0时，f′（x）≤0（x＞0）等价于（2ax+1）（ax-1）≥0（x＞0），即x＞

1

a

此时f（x）的单调递减区间为[

1

a

，+∞）．
依题意，得

1 a ≤1 a＞0

，解之得a≥1．  …（11分）
综上，实数a的取值范围是[1，+∞） …（14分）
法二：
①当a=0时，f′(x)=

1

x

＞0，∴f（x）在区间（1，+∞）上为增函数，不合题意…（9分）
②当a≠0时，要使函数f（x）在区间（1，+∞）上是减函数，只需f′（x）≤0在区间（1，+∞）上恒成立，
∵x＞0，∴只要2a²x²-ax-1≥0，且a＞0时恒成立，
∴

a 4a2 ≤1 2a2-a-1≥0

解得a≥1
综上，实数a的取值范围是[1，+∞）  …（14分）

点评：本题考查函数的零点的存在性定理，综合利用函数的导数来解决有关函数的单调性、最值等问题的能力，考查已知函数的单调性的条件下怎样求解参数的范围问题；本题始终围绕参数a来设计问题，展开问题的讨论，应用的工具就是函数的导数，这是现在高考的热点，同样也是难点，对参数的把握最能体现学生的能力与水平；本题还综合考查了分类讨论，函数与方程，配方法等数学思想与方法．