题目内容

【题目】如图,在正四棱锥中,,点分别在线段上,

(1)若,求证:

(2)若二面角的大小为,求线段的长.

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】

试题由于图形是正四棱锥,因此ACBD交点OOAx轴正方向,以OBy轴正方向,OPz轴正方向建立空间直角坐标系,可用空间向量法解决问题.(1)只要证明0即可证明垂直;(2=λ,得M(λ,01-λ),然后求出平面MBD的法向量平面ABD的法向量为,利用法向量夹角与二面角相等或互补可求得

试题: (1)连结ACBD交于点O,以OAx轴正方向,以OBy轴正方向,OPz轴正方向建立空间直角坐标系.

因为PAAB

A(100)B(010)D(0,-10)P(001)

,得N

,得M

所以(1,-10)

因为=0,所以MN⊥AD

(2) 解:因为MPA上,可设=λ,得M(λ,01-λ)

所以(λ,-11-λ)(0,-20)

设平面MBD的法向量(xyz)

其中一组解为x=λ-1y0z=λ,所以可取(λ-10,λ)

因为平面ABD的法向量为(001)

所以cos,即,解得λ=

从而MN

所以MN

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